Holomorphe Funktion/1/Lokaler Exponent/Verzweigungsordnung des Ringhomomorphismus/Aufgabe

Es sei ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine zusammenhängende offene Teilmenge, ${}P\in U$ ein Punkt und ${}\varphi \colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine nichtkonstante holomorphe Funktion mit ${}\varphi (P)=Q$. Es sei ${}k$ der lokale Exponent von ${}\varphi$ im Punkt ${}P$ und sei

$\varphi ^{*}\colon {\mathbb {C} }\langle \!\langle S-Q\rangle \!\rangle \longrightarrow {\mathbb {C} }\langle \!\langle T-P\rangle \!\rangle$

der zugehörige Ringhomomorphismus zwischen den konvergenten Potenzreihenringen. Zeige, dass

${}\operatorname {ord} {\left(\varphi (h)\right)}=k\operatorname {ord} {\left(h\right)}\,$

für alle ${}h\in {\mathbb {C} }\langle \!\langle S-Q\rangle \!\rangle$ gilt.

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