Holomorphe Funktion/2/Einfache Singularität/Hesse Rang 1/Fakt/Beweis

Beweis

Nach Fakt ist ${}f$ rechtsäquivalent zu ${}x^{2}+h(y)$ mit  ${}h\in {\mathfrak {m}}^{3}$.  Der Fall  ${}h=0$  ist nach Fakt ausgeschlossen, da dann die Singularität nicht einfach wäre. Also ist ${}h$ nicht ${}0$ und hat die Form

${}h(y)=ay^{k+1}+gy^{k+1}\,$

mit  ${}a\in {\mathbb {C} }\setminus \{0\}$  und  ${}g\in {\mathfrak {m}}$.  Da eine Singularität im Nullpunkt mit Hesserang ${}1$ vorliegt, muss  ${}k\geq 2$  sein. Nach Beispiel ist ${}h(y)$ rechtsäquivalent zu ${}y^{k+1}$. Damit ist ${}f$ rechtsäquivalent zu ${}x^{2}+y^{k+1}$ mit  ${}k\geq 2$. 

Zur bewiesenen Aussage