Holomorphe Funktion/Ableitung nullstellenfrei/Injektiv/Fakt/Beweis2

Beweis

Es sei ${}a\in U$. Nach Fakt wird ${}f$ in einer offenen Kreisscheibenumgebung ${}V=U{\left(a,r\right)}$ um ${}a$ durch eine konvergente Potenzreihe beschrieben, die Einschränkung auf ${}V$ ist natürlich ebenfalls injektiv. Wir können ${}a=0$ und ${}f(a)=0$ annehmen. Die Potenzreihe sei ${}\sum _{n=1}^{\infty }c_{n}z^{n}$, und wir müssen ${}c_{1}\neq 0$ zeigen. Nehmen wir also ${}c_{1}=c_{2}=\cdots =c_{k-1}=0$ und ${}c_{k}\neq 0$ an (die Nullfunktion ist nicht injektiv). Wir schreiben

${}f=z^{k}g(z)\,$

mit einer holomorphen Funktion ${}g$ mit

${}g(0)\neq 0\,.$

Nach Fakt gibt es eine holomorphe Funktion ${}h$ mit ${}g=h^{k}$. Dann ist ${}f=(zh)^{k}$. Wegen der Offenheit von ${}zh$ und da die ${}k$-te Potenzierung auf keiner offenen Umgebung der ${}0$ injektiv ist, folgt, dass ${}f$ nicht injektiv ist.

Zur bewiesenen Aussage