Holomorphe Funktion/C/Lokale Beschreibung/Fakt/Beweis

Beweis

Wir wählen für ${}V$ eine Kreisscheibenumgebung von ${}P$, auf der ${}f$ durch eine Potenzreihe dargestellt wird. Die Potenzreihe sei ${}c_{0}+\sum _{n=k}^{\infty }c_{n}(z-P)^{n}$ mit ${}c_{1},\ldots ,c_{k-1}=0$ und ${}c_{k}\neq 0$. Durch eine Verschiebung im Ausgangsbereich und im Bildbereich können wir ${}P=0$ und ${}c_{0}=0$ annehmen. Die Potenzreihe kann man also als

${}\sum _{n=k}^{\infty }c_{n}z^{n}=z^{k}{\left(\sum _{m=0}^{\infty }c_{m+k}z^{m}\right)}=z^{k}g(z)\,$

mit ${}g(0)\neq 0$ schreiben. Nach Fakt gibt es eine holomorphe Funktion ${}h$ mit ${}g=h^{k}$ und damit ist auch ${}f=(zh)^{k}$. Die Abbildung ${}\theta (z)=zh(z)$ besitzt die Ableitung ${}h(z)+zh'(z)$ und hat in ${}0$ den Wert ${}h(0)\neq 0$. Daher ist ${}\theta$ nach Fakt in einer geeigneten offenen Umgebung ${}V$ von ${}0$ biholomorph zu einer offenen Kreisscheibe ${}V'$. Mit der Variablen ${}w$ auf ${}V'$ ist dann

${}f(\theta ^{-1}(w))={\left(\theta ^{-1}(w)h(\theta ^{-1}(w))\right)}^{k}={\left(\theta {\left(\theta ^{-1}(w)\right)}\right)}^{k}=w^{k}\,.$

Zur bewiesenen Aussage