Holomorphe Funktion/Rechtsäquivalenz/Jacobiideal/Milnorzahl/Fakt

Es seien ${}f_{1}\colon U_{1}\rightarrow {\mathbb {C} }$ und ${}f_{2}\colon U_{2}\rightarrow {\mathbb {C} }$ holomorphe Funktionen mit  ${}U_{1},U_{2}\subseteq {\mathbb {C} }^{n}$  offen, mit  ${}0\in U_{1},U_{2}$  und  ${}f_{1}(0)=f_{2}(0)=0$.  Die beiden Funktionen seien rechtsäquivalent.

Dann überführt der zur biholomorphen Abbildung

$\varphi \colon U_{1}\longrightarrow U_{2}$

gehörende ${}{\mathbb {C} }$-Algebraisomorphismus

$\varphi ^{*}\colon {\mathcal {O}}\longrightarrow {\mathcal {O}},\,g\longmapsto g\circ \varphi ,$

das Jacobiideal ${}J_{f_{2}}$ in das Jacobiideal ${}J_{f_{1}}$, also

${}\varphi ^{*}J_{f_{2}}=J_{f_{1}}\,.$

Insbesondere haben die beiden Funktionen im Nullpunkt die gleiche Milnorzahl.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen