Homogenes Polynom/Irreduzibel/Affiner Koordinatenring/Quotientenkörper/Lokaler Ring/Aufgabe

Es sei ${}F\in K[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n}]$ ein irreduzibles homogenes Polynom, das keine Variable sei. Es sei ${}P\in V_{+}(F)$ ein Punkt, es sei ${}P\in V_{+}(F)\cap D_{+}(X_{i})$ eine affine Umgebung und sei ${}{\tilde {F}}$ die Dehomogenisierung von ${}F$ bezüglich ${}X_{i}$. Zeige, dass der im affinen Koordinatenring ${}K[{\frac {X_{0}}{X_{i}}},{\frac {X_{0}}{X_{i}}},\ldots ,{\frac {X_{i-1}}{X_{i}}},{\frac {X_{i+1}}{X_{i}}},\ldots ,{\frac {X_{n}}{X_{i}}}]/({\tilde {F}})$ gebildete lokale Ring zum Punkt ${}P$ für jedes ${}i$ mit ${}P\in D_{+}(X_{i})$ den gleichen Unterring im Funktionenkörper zu ${}V_{+}(F)$ ergibt.

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