Homomorphismenraum/Direkte Summenzerlegung/Fakt/Beweis

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Beweis

Dass die angegebene Abbildung linear ist, folgt direkt aus Fakt. Zum Nachweis der Injektivität sei mit gegeben. Dann gibt es ein mit

Sei mit . Dann ist auch für ein . Dann ist auch für ein und damit ist

Zum Nachweis der Surjektivität sei eine Familie von Homomorphismen , gegeben, die wir als Abbildungen nach auffassen. Dann sind die

lineare Abbildungen von nach . Dies ergibt nach Fakt eine lineare Abbildung von nach , die auf die vorgegebenen Abbildungen einschränkt.