Homomorphismenraum/Direkte Summenzerlegung/Fakt

Es sei $K$ ein Körper und es seien $V$ und $W$ Vektorräume über $K$ . Es seien

V = V_{1} \oplus \dots \oplus V_{n}

und

W = W_{1} \oplus \dots \oplus W_{m}

p_{j} : W ⟶ W_{j}

Dann ist die Abbildung

${Hom}_{K} (V, W) ⟶ \prod_{1 \leq i \leq n, 1 \leq j \leq m} {Hom}_{K} (V_{i}, W_{j}), f ⟼ p_{j} \circ (f |_{V_{i}}),$

Wenn man die ${Hom}_{K} (V_{i}, W_{j})$ als Untervektorräume von ${Hom}_{K} (V, W)$ auffasst, so liegt eine direkte Summenzerlegung

{Hom}_{K} (V, W) ≅ ⨁_{1 \leq i \leq n, 1 \leq j \leq m} {Hom}_{K} (V_{i}, W_{j}) .

vor.