Homomorphismenraum/Unterräume/Fakt

Es seien ${}V$ und ${}W$ Vektorräume über einem Körper ${}K$ . Dann sind die folgenden Teilmengen Untervektorräume von ${}\operatorname {Hom} _{K}{\left(V,W\right)}$ .

Zu einem Untervektorraum ${}U\subseteq V$ ist
${}S={\left\{\varphi \in \operatorname {Hom} _{K}{\left(V,W\right)}\mid \varphi {|}_{U}=0\right\}}\,$

ein Untervektorraum von ${}\operatorname {Hom} _{K}{\left(V,W\right)}$ . Wenn ${}V$ und ${}W$ endlichdimensional sind, so ist

${}\dim _{K}{\left(S\right)}={\left(\dim _{K}{\left(V\right)}-\dim _{K}{\left(U\right)}\right)}\dim _{K}{\left(W\right)}\,.$

Zu einem Untervektorraum ${}U\subseteq W$ ist
${}T={\left\{\varphi \in \operatorname {Hom} _{K}{\left(V,W\right)}\mid \operatorname {bild} \varphi \subseteq U\right\}}\,$

ein Untervektorraum von ${}\operatorname {Hom} _{K}{\left(V,W\right)}$ , der zu ${}\operatorname {Hom} _{K}{\left(V,U\right)}$ isomorph ist. Wenn ${}V$ und ${}W$ endlichdimensional sind, so ist

${}\dim _{K}{\left(T\right)}=\dim _{K}{\left(V\right)}\cdot \dim _{K}{\left(U\right)}\,.$

Zu Untervektorräumen ${}V_{1}\subseteq V$ und ${}W_{1}\subseteq W$ ist
${}H={\left\{\varphi \in \operatorname {Hom} _{K}{\left(V,W\right)}\mid \varphi (V_{1})\subseteq W_{1}\right\}}\,$

ein Untervektorraum von ${}\operatorname {Hom} _{K}{\left(V,W\right)}$ . Wenn ${}V$ und ${}W$ endlichdimensional sind, so ist

$\dim _{K}{\left(H\right)}=\dim _{K}{\left(V_{1}\right)}\dim _{K}{\left(W_{1}\right)}+{\left(\dim _{K}{\left(V\right)}-\dim _{K}{\left(V_{1}\right)}\right)}\dim _{K}{\left(W\right)}\,.$

Zu Untervektorräumen ${}V_{1},\ldots ,V_{n}\subseteq V$ und ${}W_{1},\ldots ,W_{n}\subseteq W$ ist
${}{\begin{aligned}L&={\left\{\varphi \in \operatorname {Hom} _{K}{\left(V,W\right)}\mid \varphi (V_{1})\subseteq W_{1}{\text{ und }}\varphi (V_{2})\subseteq W_{2}{\text{ und }}\ldots {\text{ und }}\varphi (V_{n})\subseteq W_{n}\right\}}\,\end{aligned}}$
ein Untervektorraum von ${}\operatorname {Hom} _{K}{\left(V,W\right)}$ .

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen