Homomorphismenraum/Unterräume/Fakt/Beweis

Beweis

(1). Die Untervektorraumeigenschaft ist klar. Zur Dimensionsaussage sei ${}U'$ ein direktes Komplement zu ${}U$ in ${}V$, also

${}V=U\oplus U'\,.$

Es sei ${}u_{1},\ldots ,u_{r}$ eine Basis von ${}U'$. Jede lineare Abbildung aus ${}S$ bildet ${}U$ auf ${}0$ ab, und auf ${}U'$ bzw. auf der Basis hat man freie Wahl. Daher ist

${}S\cong \operatorname {Hom} _{K}{\left(U',W\right)}\,$

und die Dimensionsaussage folgt aus Fakt.

(2). Die Untervektorraumeigenschaft ist wieder klar. Die natürliche Abbildung

$\operatorname {Hom} _{K}{\left(V,U\right)}\longrightarrow \operatorname {Hom} _{K}{\left(V,W\right)}$

von Fakt  (2) ist in diesem Fall injektiv und daher ist

${}T\cong \operatorname {Hom} _{K}{\left(V,U\right)}\,.$

(3). Die Untervektorraumeigenschaft ist klar. Im endlichdimensionalen Fall sei

${}V=V_{1}\oplus V_{2}\,$

eine direkte Summenzerlegung. Nach Fakt ist

${}\operatorname {Hom} _{K}{\left(V,W\right)}=\operatorname {Hom} _{K}{\left(V_{1},W\right)}\oplus \operatorname {Hom} _{K}{\left(V_{2},W\right)}\,$

und es ist

${}H=\operatorname {Hom} _{K}{\left(V_{1},W_{1}\right)}\oplus \operatorname {Hom} _{K}{\left(V_{2},W\right)}\,.$

Daher ist die Dimension gleich

$\operatorname {dim} _{}\left(V_{1}\right)\cdot \operatorname {dim} _{}\left(W_{1}\right)+\operatorname {dim} _{}\left(V_{2}\right)\cdot \operatorname {dim} _{}\left(W\right)=\operatorname {dim} _{}\left(V_{1}\right)\operatorname {dim} _{}\left(W_{1}\right)+{\left(\operatorname {dim} _{}\left(V\right)-\operatorname {dim} _{}\left(V_{1}\right)\right)}\operatorname {dim} _{}\left(W\right)\,.$

(4). Mit

${}L_{i}={\left\{\varphi \in \operatorname {Hom} _{K}{\left(V,W\right)}\mid \varphi (V_{i})\subseteq W_{i}\right\}}\,$

ist ${}L=\bigcap _{i=1}^{k}L_{i}$. Daher folgt (4) aus (3).

Zur bewiesenen Aussage