Beweis
(1). Die Untervektorraumeigenschaft ist klar. Zur Dimensionsaussage sei ein
direktes Komplement
zu in , also
-
Es sei eine Basis von . Jede lineare Abbildung aus bildet auf ab, und auf bzw. auf der Basis hat man freie Wahl. Daher ist
-
und die Dimensionsaussage folgt aus
Fakt.
(2). Die Untervektorraumeigenschaft ist wieder klar. Die natürliche Abbildung
-
von
Fakt (2)
ist in diesem Fall injektiv und daher ist
-
(3). Die Untervektorraumeigenschaft ist klar. Im endlichdimensionalen Fall sei
-
eine direkte Summenzerlegung. Nach
Fakt
ist
-
und es ist
-
Daher ist die Dimension gleich
-
(4). Mit
-
ist
.
Daher folgt (4) aus (3).