Beweis
Zur Ermittlung des Grenzwertes benutzen wir das
Folgenkriterium. Da
im Intervall keine Nullstelle besitzt und
ist, besitzt auch
nach
Fakt
außer
keine Nullstelle. Es sei
eine
Folge
in
, die gegen
konvergiert.
Zu jedem
gibt es nach
Fakt,
angewandt auf
bzw.
,
ein
(im Innern von
)
mit
-
![{\displaystyle {}{\frac {f(x_{n})-f(a)}{g(x_{n})-g(a)}}={\frac {f'(c_{n})}{g'(c_{n})}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26d41b59707fef449b918722b53b71a3e896d903)
Die Folge
konvergiert ebenfalls gegen
, so dass nach Voraussetzung die rechte Seite gegen
konvergiert. Daher konvergiert auch die linke Seite gegen
, und wegen
bedeutet das, dass
gegen
konvergiert.