Hospital/Differenzierbar im Innern/Fakt/Beweis

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Beweis

Zur Ermittlung des Grenzwertes benutzen wir das Folgenkriterium. Es sei eine Folge in , die gegen konvergiert. Zu jedem gibt es nach Fakt, angewandt auf bzw. , ein (im Innern von ) mit

Die Folge konvergiert ebenfalls gegen , so dass nach Voraussetzung die rechte Seite gegen konvergiert. Daher konvergiert auch die linke Seite gegen , und wegen bedeutet das, dass gegen konvergiert.

Zur bewiesenen Aussage