Hyperfläche/Glatt und kompakt/Jede Hyperebene als Tangentialraum/Fakt/Beweis

Beweis

Der $(n-1)$-dimensionale Untervektorraum  $V\subset {ℝ}^n$  wird durch eine Linearform beschrieben, sagen wir  $V=\mathrm{kern}h$  mit

$h(x_1,\dots ,x_n)=c_1{x}_1+\cdots +c_n{x}_n,$

wobei nicht alle $c_i$ gleich $0$ sind. Die Funktion $h$ nimmt nach Fakt auf der kompakten Teilmenge $M$ ihr Maximum an, d.h. es gibt einen Punkt  $a\in M$  derart, dass $h{|}_M$ in $a$ insbesondere ein lokales Extremum besitzt. Da $a$ ein regulärer Punkt ist, folgt nach Fakt, dass

$h={\left(Dh\right)}_a=\lambda {\left(Df\right)}_a$

ist ($\lambda \ne 0$) und somit ist

$V=\mathrm{kern}h=\mathrm{kern}{\left(Df\right)}_a=T_{a}M.$

Zur bewiesenen Aussage