Hyperfläche/Glatt und kompakt/Jede Hyperebene als Tangentialraum/Fakt/Beweis

Beweis

Der ${}(n-1)$-dimensionale Untervektorraum  ${}V\subset \mathbb {R} ^{n}$  wird durch eine Linearform beschrieben, sagen wir  ${}V=\operatorname {kern} h$  mit

${}h(x_{1},\ldots ,x_{n})=c_{1}x_{1}+\cdots +c_{n}x_{n}\,,$

wobei nicht alle ${}c_{i}$ gleich ${}0$ sind. Die Funktion ${}h$ nimmt nach Fakt auf der kompakten Teilmenge ${}M$ ihr Maximum an, d.h. es gibt einen Punkt  ${}a\in M$  derart, dass ${}h{|}_{M}$ in ${}a$ insbesondere ein lokales Extremum besitzt. Da ${}a$ ein regulärer Punkt ist, folgt nach Fakt, dass

${}h=\left(Dh\right)_{a}=\lambda \left(Df\right)_{a}\,$

ist (${}\lambda \neq 0$) und somit ist

${}V=\operatorname {kern} h=\operatorname {kern} \left(Df\right)_{a}=T_{a}M\,.$

Zur bewiesenen Aussage