Hyperfläche/Isolierte Singularität/Hesse-Matrix/Nichtausgeartet/Milnorzahl 1/Fakt/Beweis

Beweis

Da ein kritischer Punkt vorliegt, gilt direkt

${}{\left(\partial _{1}f,\ldots ,\partial _{n}f\right)}\subseteq {\mathfrak {m}}_{P}\,$

in ${}{\mathcal {O}}_{P}$. Wir betrachten die Abbildung

$Df\colon G\longrightarrow {\mathbb {K} }^{n},\,Q\longmapsto \left(\partial _{1}f(Q),\,\ldots ,\,\partial _{n}f(Q)\right).$

Das totale Differential dieser Abbildung wird durch die Hessematrix beschrieben. Nach Voraussetzung besitzt die Matrix im Punkt ${}P$ den maximalen Rang ${}n$, daher kann man den Satz über die Umkehrabbildung anwenden und erhält auf geeigneten offenen Umgebungen ${}P\in U_{1}$, ${}f(P)\in U_{2}$, eine biholomorphe Abbildung Umkehrabbildung

$\theta \colon U_{2}\longrightarrow U_{1}$

zu ${}Df$. Damit hat man insbesondere einen Ringisomorphismus

${\mathcal {O}}_{f(P)}\longrightarrow {\mathcal {O}}_{P}$

(holomorphe lokale Ringe), der die Koordinaten ${}y_{j}$ von ${}{\mathcal {O}}_{f(P)}$ auf ${}\partial _{j}f$ abbildet. Da die Koordinaten ${}y_{j}$ das maximale Ideal ${}{\mathfrak {m}}_{f(P)}$ erzeugen, erzeugen auch die ${}\partial _{j}f$ das maximale Ideal ${}{\mathfrak {m}}_{P}$. Der Zusatz ergibt sich unmittelbar aus der Definition der Milnorzahl.

Zur bewiesenen Aussage