Hyperfläche/Kurve/Paralleltransport/Isometrie/Fakt/Beweis

Beweis

Zum Nachweis der Linearität seien ${}v,w\in T_{P}Y$ and ${}r,s\in \mathbb {R}$ gegeben. Es seien ${}F$ bzw. ${}G$ die gemäß Fakt eindeutig bestimmten parallelen Vektorfelder längs ${}\gamma$ mit ${}F(a)=v$ und ${}G(a)=w$. Nach Fakt ist ${}rF+sG$ ein paralleles Vektorfeld mit ${}(rF+sG)(a)=v+w$. Wegen der Eindeutigkeit aus Fakt ist somit ${}rF+sG$ das parallele Vektorfeld zum Tangentialvektor ${}rv+sw$. Daher ist

${}\Psi _{\gamma }(rv+sw)=(rF+sG)(b)=rF(b)+sG(b)=r\Psi _{\gamma }(v)+s\Psi _{\gamma }(w)\,.$

Zum Nachweis der Verträglichkeit mit dem Skalarprodukt seien wieder ${}v,w\in T_{P}Y$ gegeben und es seien ${}F,G$ die zugehörigen parallelen Vektorfelder. Es ist

${}\left\langle F(t),G(t)\right\rangle '=\left\langle F'(t),G(t)\right\rangle +\left\langle F(t),G'(t)\right\rangle =0\,,$

da ${}F,G$ tangential sind und ${}F',G'$ orthogonal zum Tangentialraum sind. Daher ist ${}\left\langle F(t),G(t)\right\rangle$ konstant längs des Weges. Daher ist

${}\left\langle \Psi _{\gamma }(v),\Psi _{\gamma }(w)\right\rangle =\left\langle F(b),G(b)\right\rangle =\left\langle F(a),F(a)\right\rangle =\left\langle v,w\right\rangle \,.$

Die Bijektivität ist damit auch klar.

Zur bewiesenen Aussage