Hyperfläche/Kurve/Paralleltransport/Isometrie/Fakt/Beweis

Beweis

Zum Nachweis der Linearität seien  $v,w\in T_{P}Y$  and  $r,s\in ℝ$  gegeben. Es seien $F$ bzw. $G$ die gemäß Fakt eindeutig bestimmten parallelen Vektorfelder längs $\gamma$ mit  $F(a)=v$  und  $G(a)=w$.  Nach Fakt ist $rF+sG$ ein paralleles Vektorfeld mit  $(rF+sG)(a)=v+w$.  Wegen der Eindeutigkeit aus Fakt ist somit $rF+sG$ das parallele Vektorfeld zum Tangentialvektor $rv+sw$. Daher ist

${\Psi }_{\gamma }(rv+sw)=(rF+sG)(b)=rF(b)+sG(b)=r{\Psi }_{\gamma }(v)+s{\Psi }_{\gamma }(w).$

Zum Nachweis der Verträglichkeit mit dem Skalarprodukt seien wieder  $v,w\in T_{P}Y$  gegeben und es seien $F,G$ die zugehörigen parallelen Vektorfelder. Es ist

$⟨F(t),G(t)⟩=⟨F^{\prime }(t),G(t)⟩+⟨F(t),G^{\prime }(t)⟩=0,$

da $F,G$ tangential sind und $F^{\prime },G^{\prime }$ orthogonal zum Tangentialraum sind. Daher ist $⟨F(t),G(t)⟩$ konstant längs des Weges. Daher ist

$⟨{\Psi }_{\gamma }(v),{\Psi }_{\gamma }(w)⟩=⟨F(b),G(b)⟩=⟨F(a),F(a)⟩=⟨v,w⟩.$

Die Bijektivität ist damit auch klar.

Zur bewiesenen Aussage