Wir differenzieren die erste Bestimmungsgleichung für die Christoffelsymbole, also
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![{\displaystyle {}\partial _{1}\partial _{1}\varphi =\Gamma _{11}^{1}\partial _{1}\varphi +\Gamma _{11}^{2}\partial _{2}\varphi +h_{11}N\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/847032b4c151a52e40df9185acf5cb8cfe169d72)
in Richtung der zweiten Variablen und die zweite Bestimmungsgleichung, also
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![{\displaystyle {}\partial _{1}\partial _{2}\varphi =\Gamma _{12}^{1}\partial _{1}\varphi +\Gamma _{12}^{2}\partial _{2}\varphi +h_{12}N\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/113352d4a4877d72aaa7949342c023e98e6933db)
in Richtung der ersten Variablen und erhalten nach Schwarz
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}&\,\,\,\,\,\,\,{\left(\partial _{2}\Gamma _{11}^{1}\right)}\partial _{1}\varphi +{\left(\partial _{2}\Gamma _{11}^{2}\right)}\partial _{2}\varphi +{\left(\partial _{2}h_{11}\right)}N+\Gamma _{11}^{1}\partial _{2}\partial _{1}\varphi +\Gamma _{11}^{2}\partial _{2}\partial _{2}\varphi +h_{11}\partial _{2}N\\&={\left(\partial _{1}\Gamma _{12}^{1}\right)}\partial _{1}\varphi +{\left(\partial _{1}\Gamma _{12}^{2}\right)}\partial _{2}\varphi +{\left(\partial _{1}h_{12}\right)}N+\Gamma _{12}^{1}\partial _{1}\partial _{1}\varphi +\Gamma _{12}^{2}\partial _{1}\partial _{2}\varphi +h_{12}\partial _{1}N.\,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1a1c54a6288e06323d96585406555238f1a79c9)
Die Differenz dieser Ausdrücke ist
, und wir bestimmen, was sich dabei auf den Basisvektor
bezieht. Dazu müssen wir die Bestimmungsgleichungen für die Christoffelsymbole und
Fakt (3)
heranziehen und erhalten
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![{\displaystyle 0=\partial _{2}\Gamma _{11}^{2}-\partial _{1}\Gamma _{12}^{2}+\Gamma _{11}^{1}\Gamma _{12}^{2}-\Gamma _{12}^{1}\Gamma _{11}^{2}+\Gamma _{11}^{2}\Gamma _{22}^{2}-{\left(\Gamma _{12}^{2}\right)}^{2}+h_{11}{\frac {g_{12}h_{12}-g_{11}h_{22}}{g_{11}g_{22}-g_{12}^{2}}}-h_{12}{\frac {g_{12}h_{11}-g_{11}h_{12}}{g_{11}g_{22}-g_{12}^{2}}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a37c9fded1805ebd29262c4dceaa71943273a84)
Mit
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![{\displaystyle -g_{11}{\left(h_{11}h_{22}-h_{12}^{2}\right)}=h_{11}{\left(g_{12}h_{12}-g_{11}h_{22}\right)}-h_{12}{\left(g_{12}h_{11}-g_{11}h_{12}\right)}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd8b7e813c214893593bce5748ed4d9bfa3863d9)
können wir die beiden hinteren Summanden ersetzen und erhalten mit
Fakt (4)
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}g_{11}K&=g_{11}{\frac {h_{11}h_{22}-h_{12}^{2}}{g_{11}g_{22}-g_{12}^{2}}}\\&={\left(\partial _{2}\Gamma _{11}^{2}-\partial _{1}\Gamma _{12}^{2}+\Gamma _{11}^{1}\Gamma _{12}^{2}+\Gamma _{11}^{2}\Gamma _{22}^{2}-\Gamma _{12}^{1}\Gamma _{11}^{2}-{\left(\Gamma _{12}^{2}\right)}^{2}\right)}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bdbfa93b74d5499438d4156e0a46892148af0a34)