Es sei
offen,
eine zweifach
stetig differenzierbare Funktion
und
die
Faser
zu
,
wobei
in jedem Punkt von
regulär
sei. Es sei
-
,
eine zweifach differenzierbare Parametrisierung einer offenen Menge
mit den Parametern
. Es sei
durch ein
Einheitsnormalenfeld
orientiert,
wobei wir
als Feld auf
auffassen. Es sei
die
erste
und
die
zweite Fundamentalmatrix
zu
. Zu
sei
die Matrix, die die
Weingartenabbildung
-
bezüglich der Basis
und
von
beschreibt. Dann gelten folgende Aussagen.
- Es ist
-
![{\displaystyle {}H=G\cdot W\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1dc7c2886e606e235c2f7bcd9a47c9aae6732341)
- Es ist
-
![{\displaystyle {}W=G^{-1}H\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c50c0a91a9ad2046e7d5aed056d897f7a15fb007)
- Es ist
-
![{\displaystyle \partial _{1}N=-{\frac {1}{g_{11}g_{22}-g_{12}^{2}}}{\left({\left(g_{22}h_{11}-g_{12}h_{12}\right)}\partial _{1}\varphi +{\left(-g_{12}h_{11}+g_{11}h_{12}\right)}\partial _{2}\varphi \right)}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d27ebbd84adb7ce05f86eb2c2ca6d7774d6bfe2)
und
-
![{\displaystyle \partial _{2}N=-{\frac {1}{g_{11}g_{22}-g_{12}^{2}}}{\left({\left(g_{22}h_{12}-g_{12}h_{22}\right)}\partial _{1}\varphi +{\left(-g_{12}h_{12}+g_{11}h_{22}\right)}\partial _{2}\varphi \right)}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6cf550aaad8834ddf31a9c97683efaffce33c05c)
- Für die
Gaußkrümmung
von
gilt
-
![{\displaystyle {}K={\frac {\det H}{\det G}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b99afa2504ece432a1fa89115ca78053dc2d9d0)