Hyperfläche/Tangentiales Vektorfeld/Bezüglich tangentialem Vektorfeld/Kovariante Ableitung/Eigenschaften/Fakt

Es sei ${}Y\subseteq W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$, ${}W$ offen, eine differenzierbare Hyperfläche. Dann gelten für tangentiale Vektorfelder auf ${}Y$ folgende Aussagen.

1. Zu einem fixierten differenzierbaren tangentialen Vektorfeld ${}F$ ist die Zuordnung ${}G\mapsto \nabla _{G}F$ linear in ${}G$. Ferner ist für eine stetige Funktion ${}g\colon Y\rightarrow \mathbb {R}$

   ${}\nabla _{gG}F=g\nabla _{G}F\,.$

2. Zu einem fixierten tangentialen Vektorfeld ${}G$ ist die Zuordnung ${}F\mapsto \nabla _{G}F$, die einem tangentialen differenzierbaren Vektorfeld die kovariante Ableitung längs ${}G$ zuordnet, linear.
3. Zu einer differenzierbaren Funktion ${}g\colon U\rightarrow \mathbb {R}$ und einem differenzierbaren tangentialen Vektorfeld ${}F$ ist

   ${}\nabla _{G}(gF)=g(P)(\nabla _{G}F)(P)+(\nabla _{G}g)(P)F(P)\,.$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen