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Differentialgeometrie/Hyperfläche/Einführung/Textabschnitt

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Es sei

eine differenzierbare Funktion und die Faser zu . Diese Teilmengen werden insbesondere im Kontext des Satzes über implizite Abbildungen studiert. Wenn das totale Differential

für jeden Punkt surjektiv ist, wenn also stets ein regulärer Punkt der Abbildung ist, so ist in einer offenen Umgebung von homöomorph zu einer offenen Menge im . Ferner haben wir in diesem Kontext den Tangentialraum an die Faser als den Kern des totalen Differentials eingeführt. Dieser ist ein -dimensionaler Untervektorraum des , man stellt sich ihn aber typischerweise als an den Punkt anliegend vor, also als einen affin-linearen Raum. Dieser Tangentialraum schmiegt sich im Punkt an an. Wir nennen eine Hyperfläche, da ihr Tangentialraum eine Dimension weniger als der umgebende Raum besitzt. Bei liegt in der Tat eine Fläche vor. Wenn man mit dem Standardskalarprodukt des arbeitet, kann man den Tangentialraum an die Faser auch als den Raum aller Vektoren auffassen, die senkrecht zum Gradienten stehen.


Es sei

und wir betrachten die Faser zu über , also die Kugeloberfläche zum Radius mit dem Ursprung als Mittelpunkt. Das totale Differential ist , in einem jeden Punkt der Kugeloberfläche ist also zumindest ein Eintrag ungleich und daher ist in jedem Punkt von regulär. Es sei . Der Tangentialraum in ist durch die lineare Bedingung

gegeben, das ist die Menge aller Vektoren, die orthogonal zum Gradienten stehen.



Es sei eine offene Menge und sei

eine stetig differenzierbare Funktion. Der Graph von ist

die man auch als Nullstellengebilde (Faser über ) von

auffassen kann. Die partiellen Ableitungen von sind

Insbesondere ist in jedem Punkt von regulär. Der Tangentialraum an in einem Punkt steht senkrecht auf . Jede parametrisierte Grundgerade wird zur parametrisierten Kurve

auf , deren Ableitung einen Tangentialvektor ergibt. Wenn man den Weg zu

mit bezeichnet, so ist

und

nach Fakt.