Implizite Abbildung/Faser/Motivation/Einführung/Textabschnitt

In einer topographischen Karte wird ein Gebirge durch seine Niveaulinien (Höhenlinien) repräsentiert.

Die Küstenlinie ist die Nullfaser der Höhenabbildung. In den regulären Punkten der Küste kann man eine Tangente anlegen und die Küste lokal als einen Graphen einer Funktion beschreiben. Ein singulärer Punkt einer Küste ergibt sich beispielsweise bei einer Meereserhebung, die genau in einem Punkt an die Wasseroberfläche stößt, oder einem Sattelpunkt zwischen „zwei“ Inseln, der sich auf Meeresniveau befindet.

Definition

Zu einer Abbildung

$\varphi \colon L\longrightarrow M$

zwischen zwei Mengen ${}L$ und ${}M$ heißt zu ${}y\in M$ die Menge

${}F_{y}={\left\{x\in L\mid \varphi (x)=y\right\}}\,$

die Faser von ${}\varphi$ über ${}y$.

Die Faser zu einem Punkt ist also einfach das Urbild ${}\varphi ^{-1}(\{y\})$ von ${}y$. Zu einem Punkt ${}P\in L$ nennt man die Faser über ${}\varphi (P)$ auch die Faser durch ${}P$. Bei ${}M=\mathbb {R}$ sagt man statt Fasern auch Niveaumengen oder, insbesondere bei ${}L=\mathbb {R} ^{2}$, auch Höhenlinien. In meteorologischen Kontexten spricht man von Isothermen oder von Isobaren.

Beispiel

Wir betrachten die Funktion

$f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x^{2}+y^{2}.$

Da diese nur nichtnegative Werte annimmt, sind die Fasern zu ${}z\in \mathbb {R} _{-}$ leer. Die Faser zum Wert ${}0$ besteht aus dem einzigen Punkt ${}(0,0)$. Die Faser zu einem positiven Wert ${}z\in \mathbb {R} _{+}$ ist

${\left\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}=z\right\}},$

das ist der Kreis mit dem Radius ${}{\sqrt {z}}$. Zu jedem Punkt ${}P=(x_{0},y_{0})\neq (0,0)$ ist die Faser (oder die Niveaumenge) durch diesen Punkt also ein Kreis ${}Z$. Eine hinreichend kleine offene Ballumgebung ${}U{\left(P,\delta \right)}$ von ${}P$ enthält nur einen Teil des Kreisbogens, der homöomorph zu einem offenen Intervall ist. Die differenzierbare Abbildung

$]a,b[\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto {\sqrt {x_{0}^{2}+y_{0}^{2}}}\left(\cos t,\,\sin t\right)$

(mit geeignet gewählten Intervallgrenzen) induziert dabei eine Homöomorphie zwischen ${}]a,b[$ und dem Kreisbogenausschnitt ${}Z\cap U{\left(P,\delta \right)}$.

Beispiel

Es sei ${}f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$, ${}x\longmapsto f(x)$, eine Funktion in einer Variablen. Dazu kann man die Funktion in zwei Variablen,

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto y-f(x),$

betrachten. Die Fasern von ${}\varphi$ über ${}c\in \mathbb {R}$ sind durch

${}F_{c}={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid y=f(x)+c\right\}}\,$

charakterisiert. D.h. die Faser über ${}c$ ist einfach der Graph der durch ${}x\mapsto f(x)+c$ definierten Funktion. Alle Fasern gehen durch eine Verschiebung ineinander über, sie sind parallel zueinander. Die Punkte einer jeden Faser stehen in Bijektion mit der ${}x$-Achse, indem nämlich ${}x$ auf ${}(x,f(x)+c)$ abgebildet wird.

Der Satz über implizite Abbildungen wird zeigen, dass unter gewissen Differenzierbarkeitsvoraussetzungen die Fasern einer Abbildung sich lokal als Graphen von Abbildungen realisieren lassen.

Eine Abbildung ${}\varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{m}$ mit

$\varphi (x_{1},\ldots ,x_{n})=(\varphi _{1}(x_{1},\ldots ,x_{n}),\ldots ,\varphi _{m}(x_{1},\ldots ,x_{n}))=(y_{1},\ldots ,y_{m})\,$

führt unmittelbar zu einem Gleichungssystem

$y_{1}=\varphi _{1}(x_{1},\ldots ,x_{n}),\ldots ,y_{m}=\varphi _{m}(x_{1},\ldots ,x_{n}).$

Die Lösungsmenge eines solchen Gleichungssystems ist gerade die Faser über ${}y=(y_{1},\ldots ,y_{m})$. Man kann sich fragen, wie zu gegebenem ${}y=(y_{1},\ldots ,y_{m})$ die Lösungsmenge aussieht, welche Struktur sie hat und wie sie sich mit ${}y$ verändert. Das „grobe Muster“ zeigt sich schon deutlich bei einem linearen Gleichungssystem in ${}n$ Variablen und ${}m$ Gleichungen. Dort sind bei

${}n\geq m\,$

und wenn die Gleichungen linear unabhängig sind, die Lösungsmengen ${}(n-m)$-dimensionale affine Untervektorräume des ${}\mathbb {R} ^{n}$. Insbesondere sind alle Lösungsmengen gleich und besitzen die gleiche Dimension.

Das Bestimmen der Lösungsmengen ist im Allgemeinen sehr viel schwieriger als im linearen Fall und auch gar nicht effektiv durchführbar. Dennoch vermittelt die lineare Approximation durch das totale Differential den richtigen Ansatz für das Studium allgemeiner Fasern. Eine reichhaltige Strukturaussage über die Gestalt der Faser in einem Punkt ${}P$ ist nur dann zu erwarten, wenn das totale Differential in ${}P$ surjektiv ist. In diesem Fall ist der Kern des totalen Differentials, also die Lösungsmenge des durch diese lineare Abbildung gegebenen linearen Gleichungssystems, tangential an die Faser durch ${}P$, und man kann auf hinreichend kleinen offenen Mengen eine Bijektion zwischen dem Kern und der Faser stiften.

Der Querschnitt eines Achats. Die chemische Zusammensetzung variiert mit dem Ort und damit variiert auch die Frequenz des reflektierten Lichts, also die optische Erscheinung, mit dem Ort. Man sieht also die (verdickten) Fasern der Lichtabbildung.