Integration/Substitutionsregel/Fakt/Beweis

Beweis

Wegen der Stetigkeit von $f$ und der vorausgesetzten stetigen Differenzierbarkeit von $g$ existieren beide Integrale. Es sei $F$ eine Stammfunktion von $f$, die aufgrund von Fakt existiert. Nach der Kettenregel hat die zusammengesetzte Funktion

$t\mapsto F(g(t))=(F\circ g)(t)$

die Ableitung  $F^{\prime }(g(t))g^{\prime }(t)=f(g(t))g^{\prime }(t)$.  Daher gilt insgesamt

${\int }_a^{b}f(g(t))g^{\prime }(t)dt=(F\circ g){|}_a^b=F(g(b))-F(g(a))=F{|}_{g(a)}^{g(b)}={\int }_{g(a)}^{g(b)}f(s)ds.$

Zur bewiesenen Aussage