Integration auf ebener Mannigfaltigkeit mit Rand/Satz von Green/Fakt

Der Satz von Green

Es sei ${}M\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ eine kompakte Mannigfaltigkeit mit Rand ${}\partial M$, und es seien

$f,g\colon M\longrightarrow \mathbb {R}$

stetig differenzierbare Funktionen.

Dann ist

${}{\begin{aligned}\int _{M}{\left(-{\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y)+{\frac {\partial g}{\partial x}}(x,y)\right)}dx\wedge dy&=\int _{\partial M}f(x,y)dx+g(x,y)dy\\\end{aligned}}$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen