Integres affines Schema/Invertierbar/Ideal/Fakt/Beweis

Beweis

Nach Fakt können wir direkt davon ausgehen, dass ein invertierbarer Untermodul ${}L\subseteq K$ des Quotientenkörpers ${}K=Q(R)$ vorliegt. Die Invertierbarkeit bedeutet nach Fakt, dass es eine Familie

${}f_{1},\ldots ,f_{k}\in R\,$

derart gibt, dass ${}L_{f_{i}}\cong R_{f_{i}}\cdot q_{i}$ mit ${}q_{i}\in K\setminus \{0\}$ gibt. Es sei ${}b$ ein Hauptnenner der ${}q_{i}$. Dann wird unter der Multiplikationsabbildung

$K\longrightarrow K,\,q\longmapsto qb,$

die ein ${}R$-Modulisomorphismus von ${}K$ ist, der Untermodul ${}L$ auf einen dazu isomorphen Untermodul ${}L'$ abgebildet. Dieser ist in der gegebenen Überdeckung ein Untermodul der Strukturgarbe, also ein Ideal.

Zur bewiesenen Aussage