Endlich erzeugter Modul/Lokal freie Garbe/Charakterisierungen von lokal/Fakt

Charakterisierungssatz für lokal freie Garben im affinen Fall

Es sei ${}R$ ein kommutativer noetherscher Ring und sei ${}M$ ein endlich erzeugter ${}R$-Modul. Es sei  ${}r\in \mathbb {N}$.  Dann sind die folgenden Eigenschaften äquivalent.

1. Die Lokalisierungen ${}M_{\mathfrak {p}}$ sind frei vom Rang ${}r$ für jedes Primideal  ${}{\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spek} {\left(R\right)}$. 
2. Die Lokalisierungen ${}M_{\mathfrak {m}}$sind frei vom Rang ${}r$ für jedes maximale Ideal ${}{\mathfrak {m}}$ von ${}R$.
3. Es gibt Elemente  ${}f_{1},\ldots ,f_{k}\in R$,  die das Einheitsideal erzeugen derart, dass die Nenneraufnahmen ${}M_{f_{j}}$ für jedes  ${}j=1,\ldots ,k$  frei vom Rang ${}r$ sind.
4. Die zu ${}M$ gehörige kohärente Garbe ${}{\widetilde {M}}$ auf ${}\operatorname {Spek} {\left(R\right)}$ ist lokal frei vom Rang ${}r$.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen