Integrierbare Funktion/Ausschöpfungsatz/Fakt

Ausschöpfungsatz

Es sei ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$ ein ${}\sigma$-endlicher Maßraum und sei ${}M_{n}$, ${}n\in \mathbb {N}$, eine messbare Ausschöpfung von ${}M$.

Dann gilt für eine integrierbare messbare numerische Funktion die Beziehung

${}\int _{M}f\,d\mu =\lim _{n\rightarrow \infty }{\left(\int _{M_{n}}f\,d\mu \right)}\,.$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen