Es sei
ein
reelles Intervall
und sei
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eine positive differenzierbare Funktion, die wir als eine
riemannsche Metrik
auf
interpretieren. Die Bedeutung von
ist, auf dem eindimensionalen Tangentialraum des Intervalls zum Punkt
ein Skalarprodukt zu definieren. Es ist also
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und daher
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Wenn
eine
reguläre
stetig differenzierbare Kurve
und der
mit der euklidischen Metrik versehen ist, so ererbt
durch die Abbildung eine solche Metrik durch
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Die Länge der Kurve
auf
ist nach
Fakt
gleich
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Man kann also die Kurvenlänge auf dem Intervall berechnen, wenn man darauf die infinitesimale Längenmessung kennt. Umgekehrt kann man jede positive Metrik
auf
über die Funktion
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mit
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als zurückgezogene Metrik zur Standardmetrik auf
erhalten.