Invariantentheorie/Kommutative K-Algebra/Relative Invariante zu Charakter/Textabschnitt

Definition

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}R$ eine kommutative ${}K$-Algebra, auf der eine Gruppe ${}G$ als Gruppe von ${}K$-Algebraautomorphismen operiere. Es sei

$\chi \colon G\longrightarrow K^{\times }$

ein Charakter auf ${}G$. Dann nennt man

${}R_{\chi }^{G}:={\left\{f\in R\mid f\sigma =\chi (\sigma )\cdot f{\text{ für alle }}\sigma \in G\right\}}\,$

die ${}\chi$-relativen Invarianten oder Semiinvarianten bezüglich ${}\chi$.

Der Invariantenring ist also die Menge der Invarianten relativ zum trivialen Charakter. Die ${}\chi$-relativen Invarianten sind ein ${}R^{G}$-Untermodul von ${}R$. Wenn nämlich ${}g$ invariant und ${}f$ ${}\chi$-invariant ist, so ist

${}(gf)\sigma =(g)\sigma \cdot (f)\sigma =g\chi (\sigma )f\,.$