Invariantentheorie (Bochum 2003)/Vorlesung 8

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Diagonalisierbare Gruppen und Graduierungen

Es sei eine diagonalisierbare Gruppe, also eine Zariski-abgeschlossene Untergruppe der Gruppe der invertierbaren Diagonalmatrizen (einem Torus). Dann ist

also gleich der Charaktergruppe zu einer endlich erzeugten abelschen Gruppe . Für den Torus gilt

und die Einbettung entspricht einem surjektiven Gruppenhomomorphismus bzw. einer kurzen exakten Sequenz

Diese Surjektion liefert eine

-Graduierung des Polynomrings in Variablen. Es ist

mit

Eine Untergruppe innerhalb der Gruppe der Diagonalmatrizen führt also zu einer Graduierung des Polynomrings.

Sei nun umgekehrt durch einen surjektiven Gruppenhomomorphismus

eine Graduierung gegeben. Wir setzen . Dies liefert einen surjektiven -Algebrahomomorphismus

und damit eine abgeschlossene Einbettung

also in den Torus. Ein Charakter von , also ein -Punkt links, entspricht dabei der Diagonalmatrix

Eine Untergruppe des -dimensionalen Torus operiert in natürlicher Weise auf dem Polynomring in Variablen. Wie sieht der Invariantenring dazu aus?



Satz  

Es sei ein algebraisch abgeschlossener Körper der Charakteristik und es sei ein surjektiver Gruppenhomomorphismus mit zugehöriger Operation von auf über die Einbettung .

Dann ist

Beweis  

Beide Ringe sind durch Monome erzeugt. Sei , ,

umgekehrt:

Sei


Es gibt dann auch einen Charakter mit .

d.h. ist nicht invariant.


Zusatz: (Umformulierung der rechten Seite)

Invariantenring Monoidring


Beispiel  

operiert durch Skalarmultipliktion

8 1.svg


8 2.svg


8 3.svg


,




Invariantenringe

hat nur triviale Lösung, d.h.


Inv.

ist invariant

ist ein Invariantenring

Quotient ? (Bahn???, ohne Nullpunkt, der verhält sich ???)

nicht separiert


8 4.svg

affine ??? mit verdoppelten Punkten


??? aus Nullpunkt?


Exkurs: (Eulerfeld)

Eulerfeld = ??? Vektorfeld definiert durch:


??? man hat eine -???

Matrix definert gewöhnliche ??? Differentialgleichung mit konstanten Koeffizenten.

Die Bahnen zur Operation durch

ist Lösung der Diffentialgleichung.


Beispiel  

Operation von auf

  1. in zwei Variablen operiert durch Invariantenring:

    Lösungen:

    -Singularitäten

    -Quotientensingularitäten

  2. in in Lösungen:

    Veronesering nach Gleichungen