Kurs:Invariantentheorie (Bochum 2003)/Vorlesung 8

Diagonalisierbare Gruppen und Graduierungen

Es sei ${}G$ eine diagonalisierbare Gruppe, also eine Zariski-abgeschlossene Untergruppe der Gruppe der invertierbaren Diagonalmatrizen (einem Torus). Dann ist

${}G\cong K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(K[D]\right)}=D^{\vee }\,,$

also gleich der Charaktergruppe zu einer endlich erzeugten abelschen Gruppe ${}D$. Für den Torus gilt

$(G_{m})^{n}=K-\operatorname {Spek} \underbrace {K[\mathbb {Z} ^{n}]} _{K[T_{1},\ldots ,T_{n},T_{1}^{-1},\ldots ,T_{n}^{-1}]},$

und die Einbettung entspricht einem surjektiven Gruppenhomomorphismus ${}\delta \colon \mathbb {Z} ^{n}\rightarrow D$ bzw. einer kurzen exakten Sequenz

$0\to \Gamma \to \mathbb {Z} ^{n}\to D\to 0.$

Diese Surjektion liefert eine

${}D$- Graduierung des Polynomrings ${}R$ in ${}n$ Variablen. Es ist

${}R=\bigoplus _{d\in D}R_{d}\,$

mit

${}R_{d}=K-{\text{Vektorraum erzeugt durch }}X^{\nu },\nu =(\nu _{1},\ldots ,\nu _{n}){\text{ mit }}\sum _{i=1}^{n}\nu _{i}d_{i}=d\,.$

Eine Untergruppe innerhalb der Gruppe der Diagonalmatrizen führt also zu einer Graduierung des Polynomrings.

Sei nun umgekehrt durch einen surjektiven Gruppenhomomorphismus

$\delta \colon \mathbb {Z} ^{n}\longrightarrow D$

eine Graduierung gegeben. Wir setzen ${}d_{i}:=\delta (e_{i})$. Dies liefert einen surjektiven ${}K$- Algebrahomomorphismus

$K[\mathbb {Z} ^{n}]\longrightarrow K[D]$

und damit eine abgeschlossene Einbettung

$K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(K[D]\right)}\longrightarrow K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(K[\mathbb {Z} ^{n}]\right)},$

also in den Torus. Ein Charakter ${}\chi$ von ${}D$, also ein ${}K$-Punkt links, entspricht dabei der Diagonalmatrix

${\begin{pmatrix}\chi (\delta (e_{1}))&0&\cdots &\cdots &0\\0&\chi (\delta (e_{2}))&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&\chi (\delta (e_{n-1}))&0\\0&\cdots &\cdots &0&\chi (\delta (e_{n}))\end{pmatrix}}.$

Eine Untergruppe des ${}n$-dimensionalen Torus operiert in natürlicher Weise auf dem Polynomring in ${}n$ Variablen. Wie sieht der Invariantenring dazu aus?

Satz

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper der Charakteristik ${}0$ und es sei ${}\delta \colon \mathbb {Z} ^{n}\rightarrow D$ ein surjektiver Gruppenhomomorphismus mit zugehöriger Operation von ${}K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(K[D]\right)}$ auf ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ über die Einbettung ${}K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(K[D]\right)}\rightarrow \operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}$.

Dann ist

${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]^{G}=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]_{0}=K[X^{\nu }:\,\nu \geq 0,\,\delta (\nu )=0]\,.$

Beweis

Beide Ringe sind durch Monome erzeugt. Es sei ${}\nu \in K^{n}$, ${}\nu _{1}d_{1}+\ldots +\nu _{n}d_{n}=0$, ${}\nu \geq 0$

$D^{\nu }\notin \chi (X^{\nu })=\chi \underbrace {(v_{1}d_{1}+\ldots +v_{n}d_{n})} _{=0}\cdot \chi ^{\nu }=X^{\nu }$

umgekehrt:

Es sei ${}\underbrace {\nu _{1}d_{1}+\ldots +\nu _{n}d_{n}} _{\in \,D=K^{n}\times K/n_{1}\times \ldots \times K/n_{n}}\neq 0$

$D^{\nu }=(K^{x})\nu \times \langle \xi _{n_{1}}\rangle \times \ldots \times \langle \xi _{n_{k}}\rangle .$

Es gibt dann auch einen Charakter ${}\chi$ mit ${}\chi (d)\neq d$.

$\chi \cdot x^{\nu }=\underbrace {\chi (\sum _{i}\nu _{i}d_{i})} _{\neq d}{\text{ nach Wahl}}\cdot X^{\nu }$

d.h. ${}X^{\nu }$ ist nicht invariant.

$\Box$

Zusatz: (Umformulierung der rechten Seite)

${}\mathbb {N} ^{n}\cap Kern\,e={\text{ additives Untermonoid von }}\mathbb {N} ^{n}=M$

Invariantenring ${}=K[M]$ Monoidring

Beispiel

${}D=\chi \leftrightarrow G=G_{m}=K^{x}$

${}K[X_{n},\ldots ,X_{m}]$ ${}d(X_{i}=1$

${}t$ operiert durch Skalarmultipliktion

${}d(X_{i})=d\leftrightarrow {\begin{pmatrix}t^{d_{1}}&&&\\&\ddots &&0\\0&&\ddots &\\&&&t^{d_{n}}\end{pmatrix}}$

${}K[X,Y]$, ${}d(X)=1,\,d(x)=2$

Invariantenringe

${}X^{\nu _{1}}Y^{\nu _{2}}$ ${}d_{1}\nu _{1}+d_{2}\nu _{2}=0$ ${}\nu _{1},\nu _{2}\geq 0$ hat nur triviale Lösung, d.h. ${}Inv=K$

${}d(x)=d$ ${}d(y)=-d$ ${}(tx,t^{-1}y)$

Inv.

$\nu _{1}-\nu _{2}=0\iff \nu _{1}=\nu _{2}$

${}X\cdot Y$ ist invariant

${}\Rightarrow K[X\cdot Y]$ ist ein Invariantenring

Quotient ? (Bahn???, ohne Nullpunkt, der verhält sich ???)

nicht separiert

affine ??? mit verdoppelten Punkten

${\begin{array}{ccc}X_{1}&&X_{2}\\\bigcup {|}&&\bigcup {|}\\U_{1}&{\stackrel {\sim }{\longrightarrow }}&U_{2}\\T&&T\end{array}}$

??? aus Nullpunkt?

Exkurs: (Eulerfeld)

Eulerfeld = ??? Vektorfeld definiert durch:

${}K^{n}\to K$

${}{\begin{pmatrix}d_{1}&&0\\&\ddots &\\0&&d_{n}\end{pmatrix}}=M$

??? man hat eine ${}K$-???

${}M$ Matrix definert gewöhnliche ??? Differentialgleichung mit konstanten Koeffizenten.

${}C'(s)=Ml$ ${}l(s)=(X_{1},\ldots ,X_{n})$

Die Bahnen zur Operation ${}T\longmapsto (t^{d_{1}}x_{1},\ldots ,t^{d_{n}}x_{n})$ durch ${}(X_{1},\ldots ,X_{n})$

${}t\in K^{x}$

${}K\in \mathbb {C}$

${\begin{array}{rcl}exp:(\mathbb {C} ,+)&\longrightarrow &(\mathbb {C} ,\cdot )=\mathbb {C} ^{x}\\s&\longmapsto &e^{s}\end{array}}$

${\begin{array}{rcl}\mathbb {C} &\longrightarrow &\mathbb {C} ^{N}\\s&\longmapsto &(e^{sd_{1}}\cdot x_{1},\ldots ,e^{sd_{n}}\cdot x_{n})\end{array}}$

ist Lösung der Diffentialgleichung.

Beispiel

${}D\longrightarrow K/n$

Operation von ${}\langle \xi _{n}\rangle$ auf ${}K^{n}$

1. in zwei Variablen ${}d(x)=1$ ${}d(y)=n-1$ ${}d(x)=???x$ ${}\xi$ operiert durch ${}{\begin{pmatrix}\xi &0\\0&\xi ^{n-1}\end{pmatrix}}$ Invariantenring:

   $v_{1}d_{1}+v_{2}d_{2}=0{\text{ in }}K/n$

   $v_{1}+v_{2}(n-1)=0{\text{ in }}K/n$

   Lösungen:

   ${\begin{array}{c}(n,0)\\(0,n)\\(1,1)\end{array}}\rightsquigarrow K[X^{n},Y^{n},XY]$

   $K[X^{n},Y^{n},XY]\cong K[U,V,W]/(UV-W^{n})$

   ${}A$-Singularitäten

   ${}A_{n-1}$-Quotientensingularitäten

2. ${}d(x)=1=d(y)$ in ${}K/n$ ${}{\begin{pmatrix}\xi &0\\0&\xi ^{n-1}\end{pmatrix}}$ ${}v_{1}+v_{2}=0$ in ${}K/n$ Lösungen:

   ${\begin{array}{c}(n,0)\\(n-1,1)\\\vdots \\(1,n-1)\\(0,n)\end{array}}\rightsquigarrow K[X^{n},X^{n-1}Y,X^{n-2}y^{2},\ldots ,y^{n}]$

   Veronesering ${}\rightsquigarrow$ nach Gleichungen