Isometrie/Eigentliche Isometrie/Matrix/Gruppenhomomorphismus/Aufgabe/Lösung

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Wir betrachten die Abbildung

wobei die beiden für eine Nullspalte bzw. eine Nullzeile der Länge stehen. Die orthogonale Matrix wird also auf eine Blockmatrix abgebildet, wobei die Matrix selbst einen -Block und die Determinante einen -Block bildet. Dies Zuordnung ist injektiv, da sich aus dem Bild rekonstruieren lässt. Die Abbildung ist ein Gruppenhomomorphismus, da Blockmatrizen blockweise multipliziert werden. Die Matrix ist wieder orthogonal und ihre Determinante ist nach dem Entwicklungssatz gleich

da die Determinante von nach Fakt

gleich ist.
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