K^n/Vektor als Linearkombination von Vektoren/Lineares Gleichungssystem/Beispiel

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}m\in \mathbb {N}$. Im ${}K^{m}$ seien ${}n$ Vektoren (oder ${}m$-Tupel)

$v_{1}={\begin{pmatrix}a_{11}\\a_{21}\\\vdots \\a_{m1}\end{pmatrix}},\,v_{2}={\begin{pmatrix}a_{12}\\a_{22}\\\vdots \\a_{m2}\end{pmatrix}},\ldots ,v_{n}={\begin{pmatrix}a_{1n}\\a_{2n}\\\vdots \\a_{mn}\end{pmatrix}}$

gegeben und sei

${}w={\begin{pmatrix}c_{1}\\c_{2}\\\vdots \\c_{m}\end{pmatrix}}\,$

ein weiterer Vektor. Wir wollen wissen, wann sich ${}w$ als Linearkombination der ${}v_{j}$ darstellen lässt. Es geht also um die Frage, ob es ${}n$ Elemente ${}s_{1},\ldots ,s_{n}\in K$ mit der Eigenschaft

${}s_{1}{\begin{pmatrix}a_{11}\\a_{21}\\\vdots \\a_{m1}\end{pmatrix}}+s_{2}{\begin{pmatrix}a_{12}\\a_{22}\\\vdots \\a_{m2}\end{pmatrix}}+\cdots +s_{n}{\begin{pmatrix}a_{1n}\\a_{2n}\\\vdots \\a_{mn}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}c_{1}\\c_{2}\\\vdots \\c_{m}\end{pmatrix}}\,$

gibt. Die Gleichheit von Vektoren bedeutet, dass Übereinstimmung in jeder Komponente vorliegen muss, so dass dies zum linearen Gleichungssystem

${\begin{matrix}a_{11}s_{1}+a_{12}s_{2}+\cdots +a_{1n}s_{n}&=&c_{1}\\a_{21}s_{1}+a_{22}s_{2}+\cdots +a_{2n}s_{n}&=&c_{2}\\\vdots &\vdots &\vdots \\a_{m1}s_{1}+a_{m2}s_{2}+\cdots +a_{mn}s_{n}&=&c_{m}\end{matrix}}$

führt.