Kähler-Differentiale/Jacobi-Matrix/Kokern-Darstellung/Bemerkung

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und es sei $A$ eine kommutative endlich erzeugte $R$-Algebra, die als  $A=R[X_1,\dots ,X_n]/(F_1,\dots ,F_k)$  gegeben sei. Dann ist nach Fakt  (4)

$d{F}_j=\frac{\partial F_j}{\partial X_1}d{X}_1+\cdots +\frac{\partial F_j}{\partial X_n}d{X}_n$

und nach Fakt gibt es eine exakte Sequenz

$A^k\stackrel{M}{⟶}{A}^n⟶{\mathrm{\Omega }}_{A/R}⟶0,$

wobei

$M=\left(\begin{array}{ccc}\frac{\partial F_1}{\partial X_1}& \dots & \frac{\partial F_k}{\partial X_1}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ \frac{\partial F_1}{\partial X_n}& \dots & \frac{\partial F_k}{\partial X_n}\end{array}\right)$

die transponierte Jacobi-Matrix (ohne Auswertung an einem Punkt) ist. Die Standardvektoren $e_j$ werden auf $d{X}_j$ abgebildet und die Spaltenvektoren $\left(\begin{array}{c}\frac{\partial F_j}{\partial X_1}\\ ⋮\\ \frac{\partial F_j}{\partial X_n}\end{array}\right)$, die die Nullelemente $d{F}_j$ repräsentieren, sind die Bilder der durch die Matrix gegebenen Abbildung.