Kähler-Differentiale/Elementare Eigenschaften/Fakt

Es sei $R$ ein kommutativer Ring, $A$ eine kommutative $R$-Algebra und ${\mathrm{\Omega }}_{A/R}$ der Modul der Kähler-Differentiale. Dann gelten folgende Eigenschaften.

1. Es ist  $dr=0$  für alle  $r\in R$. 
2. Man kann

   ${\mathrm{\Omega }}_{A/R}$

   als den Restklassenmodul des freien $A$-Moduls zur Basis $da$, $a\in A$, modulo dem Untermodul, der von den Leibnizrelationen und von $dr$, $r\in R$, erzeugt wird, beschreiben.

3. Bei  $A=R[x_1,\dots ,x_n]$  ist $d{x}_i$, $i=1,\dots ,n$, ein $A$-Modulerzeugendensystem von ${\mathrm{\Omega }}_{A/R}$.
4. Sei  $A=R[x_1,\dots ,x_n]=R[X_1,\dots ,X_n]/𝔞$.  Für ein Polynom  $F\in R[X_1,\dots ,X_n]$  und das zugehörige Element  $f=F(x_1,\dots ,x_n)\in A$  gilt in ${\mathrm{\Omega }}_{A/R}$ die Beziehung

   $df=\frac{\partial F}{\partial x_1}(x_1,\dots ,x_n)d{x}_1+\cdots +\frac{\partial F}{\partial x_n}(x_1,\dots ,x_n)d{x}_n,$

   wobei $\frac{\partial F}{\partial x_i}$ die $i$-te partielle Derivation bezeichnet.

5. Zu einem kommutativen Diagramm

   $\begin{array}{cccc}R& \stackrel{}{⟶}& S& \\ \downarrow & & \downarrow & \\ A& \stackrel{\phi }{⟶}& B& ,\end{array}$

   wobei die Pfeile Ringhomomorphismen repräsentieren, gibt es eine eindeutig bestimmte $A$-lineare Abbildung

   ${\mathrm{\Omega }}_{A/R}⟶{\mathrm{\Omega }}_{B/S},da⟼d\phi (a).$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen