Kähler-Differentiale/Lokaler Ring/Kotangentialraum/Fakt

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}R$ eine lokale kommutative ${}K$-Algebra und es sei die Gesamtabbildung

$K\longrightarrow R\longrightarrow R/{\mathfrak {m}}$

ein Isomorphismus.

Dann ist die Abbildung

${\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}\longrightarrow \Omega _{R{|}K}\otimes _{R}R/{\mathfrak {m}},\,[f]\longmapsto df\otimes 1,$

ein ${}R/{\mathfrak {m}}$-Modulisomorphismus.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen