Kähler-Differentiale/Lokaler Ring/Kotangentialraum/Fakt/Beweis

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Beweis

Nach Fakt liegt eine exakte Sequenz

von -Modulhomomorphismen vor. Nach Voraussetzung ist und daher . Somit ist die angegebene Abbildung surjektiv. Zum Nachweis der Injektivität betrachten wir die -duale Abbildung, also die Abbildung

und müssen zeigen, dass diese surjektiv ist (es geht um Vektorräume).

Der linke Homomorphismenmodul ist nach Fakt und Fakt isomorph zu

Die Gesamtabbildung ordnet einer -Derivation die Abbildung

zu. Es sei nun

ein -Modulhomomorphismus. Wir müssen zeigen, dass dies von einer Derivation herkommt. Dazu betrachten wir die Abbildung

wobei den Wert von im Restklassenkörper bezeichnet, den man über die Identifizierung wieder in auffasst. Somit gehört und die Abbildung ist wohldefiniert. Eine direkte Verifizierung ähnlich zum Beweis zu Fakt zeigt, dass es sich um eine Derivation handelt. Diese bildet auf ab.