Kähler-Differentiale/Lokaler Ring/Kotangentialraum/Fakt/Beweis

Beweis

Nach Fakt liegt eine exakte Sequenz

${\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}\longrightarrow \Omega _{R{|}K}\otimes _{R}R/{\mathfrak {m}}\longrightarrow \Omega _{R/{\mathfrak {m}}{|}K}\longrightarrow 0$

von ${}R/{\mathfrak {m}}$-Modulhomomorphismen vor. Nach Voraussetzung ist ${}R/{\mathfrak {m}}=K$ und daher ${}\Omega _{R/{\mathfrak {m}}{|}K}=0$. Somit ist die angegebene Abbildung surjektiv. Zum Nachweis der Injektivität betrachten wir die ${}R/{\mathfrak {m}}$-duale Abbildung, also die Abbildung

$\operatorname {Hom} _{R/{\mathfrak {m}}}{\left(\Omega _{R{|}K}\otimes _{R}R/{\mathfrak {m}},R/{\mathfrak {m}}\right)}\longrightarrow \operatorname {Hom} _{R/{\mathfrak {m}}}{\left({\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2},R/{\mathfrak {m}}\right)},\,\varphi \longmapsto \varphi \circ d,$

und müssen zeigen, dass diese surjektiv ist (es geht um Vektorräume).

Der linke Homomorphismenmodul ist nach Fakt und Fakt isomorph zu

${}\operatorname {Hom} _{R}{\left(\Omega _{R{|}K},R/{\mathfrak {m}}\right)}\cong \operatorname {Der} _{K}{\left(R,R/{\mathfrak {m}}\right)}\,.$

Die Gesamtabbildung ordnet einer ${}K$-Derivation ${}\delta \colon R\rightarrow R/{\mathfrak {m}}$ die Abbildung

${\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}\longrightarrow R/{\mathfrak {m}},\,[f]\longmapsto \delta (f),$

zu. Es sei nun

${\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}\longrightarrow R/{\mathfrak {m}},\,[f]\longmapsto \epsilon (f),$

ein ${}R/{\mathfrak {m}}$-Modulhomomorphismus. Wir müssen zeigen, dass dies von einer Derivation herkommt. Dazu betrachten wir die Abbildung

$\delta \colon R\longrightarrow R/{\mathfrak {m}},\,f\longmapsto \epsilon (f-{\overline {f}}),$

wobei ${}{\overline {f}}$ den Wert von ${}f$ im Restklassenkörper ${}R/{\mathfrak {m}}$ bezeichnet, den man über die Identifizierung ${}K=R/{\mathfrak {m}}$ wieder in ${}R$ auffasst. Somit gehört ${}f-{\overline {f}}\in {\mathfrak {m}}$ und die Abbildung ist wohldefiniert. Eine direkte Verifizierung ähnlich zum Beweis zu Fakt zeigt, dass es sich um eine Derivation handelt. Diese bildet auf ${}\epsilon$ ab.

Zur bewiesenen Aussage