Körper- und Galoistheorie/Gemischte Satzabfrage/17/Aufgabe/Lösung

1. Es sei ${}G$ eine endliche Gruppe und sei ${}g\in G$ ein Element. Dann teilt die Ordnung von ${}g$ die Gruppenordnung.
2. Es sei ${}K$ein Körper und ${}F$ ein Polynom aus ${}K[X]$. Dann gibt es einen Erweiterungskörper ${}K\subseteq L$ derart, dass ${}F$ über ${}L$ in Linearfaktoren zerfällt.
3. Es sei ${}K_{n}$ der ${}n$-te Kreisteilungskörper. Dann ist ${}\mathbb {Q} \subseteq K_{n}$ eine Galoiserweiterung mit der Galoisgruppe

   ${}\operatorname {Gal} \,(K_{n}{|}\mathbb {Q} )\cong {\left(\mathbb {Z} /(n)\right)}^{\times }\,.$

   Dabei entspricht der Einheit ${}a\in {\left(\mathbb {Z} /(n)\right)}^{\times }$ derjenige Automorphismus ${}\varphi _{a}\in \operatorname {Gal} \,(K_{n}{|}\mathbb {Q} )$, der eine ${}n$-te Einheitswurzel ${}\zeta$ auf ${}\zeta ^{a}$ abbildet.

Zur gelösten Aufgabe