Körper- und Galoistheorie/Gemischte Satzabfrage/9/Aufgabe/Lösung

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  1. Es sei . Dann gibt es eine (bis auf die Reihenfolge der Faktoren) eindeutige Produktdarstellung

    mit und irreduziblen normierten Polynomen

    , .
  2. Es sei ein Körper und sei ein Polynom. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent.
    1. ist separabel.
    2. Es gibt eine Körpererweiterung derart, dass über in einfache Linearfaktoren zerfällt.
    3. und die Ableitung sind teilerfremd.
    4. und die Ableitung erzeugen das Einheitsideal.
  3. Es sei ein Grundkörper und eine Körpererweiterung mit einer endlichen Transzendenzbasis. Dann besitzt jede Transzendenzbasis von über gleich viele Elemente.