Körper/Konstruktion der rationalen Zahlen aus Z/Aufgabe

In dieser Aufgabe nehmen wir an, dass die ganzen Zahlen $\mathbb{Z}$ mit ihren wesentlichen algebraischen Eigenschaften bekannt sind. Wir wollen die rationalen Zahlen $\mathbb{Q}$ ausgehend von $\mathbb{Z}$ konstruieren und nachweisen, dass es sich um einen Körper handelt. Dazu definieren wir auf der Produktmenge

$\mathbb{Z}\times (\mathbb{Z}\setminus \{0\})=\{(z,n)\mid z\in \mathbb{Z}\text{ und }n\in \mathbb{Z}\setminus \{0\}\}$

zunächst eine Äquivalenzrelation durch

$(z,n)\sim (z^{\prime },n^{\prime })\text{ genau dann, wenn }{n}^{\prime }z=n{z}^{\prime }.$

1. Zeige, dass dies wirklich eine Äquivalenzrelation ist. Es sei $Q$ die Menge der Äquivalenzklassen.
2. Definiere auf $Q$ eine Addition. Man achte insbesondere auf die Wohldefiniertheit.
3. Zeige, dass $Q$ mit der Addition eine kommutative Gruppe ist.
4. Definiere auf $Q$ eine Multiplikation.
5. Zeige, dass $Q\setminus \{0\}$ mit der Multiplikation ebenfalls eine kommutative Gruppe ist.
6. Zeige, dass $Q$ mit diesen Verknüpfungen ein Körper ist.
7. Wie findet man die ganzen Zahlen in $Q$ wieder?
8. Stimmen Addition und Multiplikation innerhalb von $\mathbb{Z}$ mit Addition und Multiplikation innerhalb von $Q$ überein?
9. Definiere eine Ordnung auf $Q$ derart, dass $Q$ zu einem archimedisch angeordneten Körper wird.

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