Körper der reellen Zahlen/Kurzübersicht

Der Körper ${}\mathbb {R}$

${}\bullet$ Ordnungsaxiome

Angeordneter Körper

Ein

Körper ${}K$ heißt angeordnet, wenn es eine totale Ordnung ${}\geq$ auf ${}K$ gibt, die die beiden Eigenschaften

1. Aus ${}a\geq b$ folgt ${}a+c\geq b+c$ (für beliebige ${}a,b,c\in K$),
2. Aus ${}a\geq 0$ und ${}b\geq 0$ folgt ${}ab\geq 0$ (für beliebige ${}a,b\in K$),

erfüllt.

 

Archimedisch angeordnet

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper. Dann heißt ${}K$ archimedisch angeordnet, wenn das folgende Archimedische Axiom gilt, d.h. wenn es zu jedem ${}x\in K$ eine natürliche Zahl ${}n$ mit

${}n\geq x\,$

gibt.

 

${}\bullet$ Ordnungseigenschaften
${}\bullet$ Vollständigkeitsaxiom

Vollständig angeordneter Körper

Ein

angeordneter Körper ${}K$ heißt vollständig oder vollständig angeordnet, wenn jede Cauchy-Folge in ${}K$ konvergiert

(also in ${}K$ einen Grenzwert besitzt).