Archimedisch angeordneter Körper/Einführung/Textabschnitt

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Wenn man sich wie üblich die reellen Zahlen als Zahlengerade vorstellt, so ist das nächste Axiom selbstverständlich. Es gibt aber auch sehr interessante angeordnete Körper, in denen dieses Axiom nicht gilt; es gilt auch nicht im Rahmen der sogenannten Nichtstandardanalysis. Zur Formulierung dieses Axioms muss man jede natürliche Zahl in einem Körper interpretieren können. Dies geschieht, indem man einer natürlichen Zahl das Körperelement

zuordnet.



Definition  

Es sei ein angeordneter Körper. Dann heißt archimedisch angeordnet, wenn das folgende Archimedische Axiom gilt, d.h. wenn es zu jedem eine natürliche Zahl mit

gibt.

Diese Eigenschaft ist für negative Elemente stets erfüllt, für positive Elemente handelt es sich aber um eine echte neue Bedingung, die nicht jeder angeordnete Körper erfüllt. Die rationalen Zahlen und die reellen Zahlen bilden jeweils einen archimedisch angeordneten Körper, ein nicht-archimedisch angeordneter Körper wird in Aufgabe besprochen. Einen archimedisch angeordneten Körper kann man sich als eine Zahlengerade vorstellen, auf denen auch die ganzen Zahlen liegen. Mit Zahlengerade wird noch nichts genaues über „Lücken“ oder „Kontinuität“ behauptet.



Lemma  

Sei ein archimedisch angeordneter Körper.

Dann gibt es zu mit stets ein mit .

Beweis  

Wir betrachten . Aufgrund des Archimedes-Axioms gibt es ein mit . Da positiv ist, gilt nach Fakt  (2) auch .




Lemma  

Es sei ein archimedisch angeordneter Körper. Es sei .

Dann gibt es eine natürliche Zahl mit .

Beweis  

Es ist eine nach Fakt  (1) positive Zahl und daher gibt es eine natürliche Zahl mit . Dies ist nach Fakt  (4) äquivalent zu


Im folgenden Lemma verwenden wir, dass man zunächst die ganzen Zahlen in einem angeordneten Körper wiederfindet und dass man dann auch die rationalen Zahlen in wiederfindet. Die rationale Zahl ist als das Element zu interpretieren, siehe auch Aufgabe.



Lemma  

Es sei ein archimedisch angeordneter Körper

Dann gibt es zwischen je zwei Elementen auch eine rationale Zahl (mit ) mit

Beweis  

Wegen ist und daher gibt es nach Fakt ein mit . Nach Fakt gibt es auch ein mit und ein mit . Daher gibt es auch ein derart, dass

ist. Damit ist einerseits und andererseits

wie gewünscht.


In einem archimedisch angeordneten Körper bilden die ganzzahligen Intervalle , , eine disjunkte Überdeckung. Deshalb ist die folgende Definition sinnvoll.

Floor function.svg



Definition  

Es sei ein archimedisch angeordneter Körper. Die Gaußklammer ist die Funktion

die durch
definiert wird.

Da die Werte der Gaußklammer die ganzen Zahlen sind, kann man die Gaußklammer auch als eine Abbildung auffassen.



Lemma  

Es sei ein archimedisch angeordneter Körper und .

Dann gibt es zu jedem eine natürliche Zahl mit

Beweis  

Wir schreiben  mit . Aufgrund von Fakt gibt es eine natürliche Zahl mit . Damit gilt unter Verwendung der Bernoulli-Ungleichung die Abschätzung