Körpererweiterung/Polynom zerfällt in Linearfaktoren/Fakt mit Beweisklappe

Lemma

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}F$ ein Polynom aus ${}K[X]$.

Dann gibt es einen Erweiterungskörper ${}K\subseteq L$ derart, dass ${}F$ über ${}L$ in Linearfaktoren zerfällt.

Beweis

Es sei ${}F=P_{1}\cdots P_{r}$ die Zerlegung in Primpolynome in ${}K[X]$, und sei ${}P_{1}$ nicht linear. Dann ist

$K\longrightarrow K[Y]/(P_{1}(Y))=:K'$

eine Körpererweiterung von ${}K$ nach Fakt. Wegen ${}P_{1}(Y)=0$ in ${}K'$ ist die Restklasse ${}y$ von ${}Y$ in ${}K'$ eine Nullstelle von ${}P_{1}$. Daher gilt nach Fakt in ${}K'[X]$ die Faktorisierung ${}P_{1}=(X-y){\tilde {P}}$, wobei ${}{\tilde {P}}$ einen kleineren Grad als ${}P_{1}$ hat. Das Polynom ${}F$ hat also über ${}K'$ mindestens einen Linearfaktor mehr als über ${}K$. Induktive Anwendung von dieser Konstruktion liefert eine Kette von Erweiterungen ${}K\subset K'\subset K^{\prime \prime }\subset \ldots$, die stationär wird, sobald ${}F$ in Linearfaktoren zerfällt.

$\Box$