Beweis
Bei
liegt der gesamte Kegel in
und sein
-Maß ist
nach
Fakt,
sei also
.
Der Durchschnitt von
mit der durch
,
zwischen
und
,
gegebenen
Hyperebene
ist
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}K(t)&={\left\{(x_{1},\ldots ,x_{n})\mid (x_{1},\ldots ,x_{n},t)\in K_{B}\right\}}\\&={\left\{(x_{1},\ldots ,x_{n})\mid (x_{1},\ldots ,x_{n},t)=P+{\frac {(h-t)}{h}}(Q-P),\,Q\in B\right\}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3add2f3026595e0f3e8ec35ff9dfb28a0c26bfd)
Wegen der
Translationsinvarianz
und
Fakt
ist dessen Volumen gleich
. Nach
dem Cavalieri-Prinzip
ist also
(mit
)
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}\lambda ^{n+1}(K_{B})&=\int _{0}^{\vert {h}\vert }\lambda ^{n}(K(s))\,ds\\&=\int _{0}^{\vert {h}\vert }\lambda ^{n}(B)\cdot {\left({\frac {s}{\vert {h}\vert }}\right)}^{n}\,ds\\&=\lambda ^{n}(B)\cdot {\frac {1}{\vert {h}\vert ^{n}}}\cdot \int _{0}^{\vert {h}\vert }s^{n}\,ds\\&=\lambda ^{n}(B)\cdot {\frac {1}{\vert {h}\vert ^{n}}}\cdot {\frac {1}{n+1}}\vert {h}\vert ^{n+1}\\&=\lambda ^{n}(B)\cdot {\frac {1}{n+1}}\cdot \vert {h}\vert .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08c4b8a597c8496d4d0bf012b036ac7fa4875def)