Knoten/R^3/Äquivalenz/Einführung/Textabschnitt

Links ein Schnürsenkelknoten, rechts ein mathematischer Knoten. Durch die Verbindung der Schnürsenkelenden merkt man sich die eigentliche Verknotung besser.

Definition

Unter einem Knoten versteht man eine topologische Einbettung der ${}1$-Sphäre in den Raum ${}\mathbb {R} ^{3}$

Manchmal beschränkt man sich auf stetig differenzierbar eingebettete Kreise.

Definition

Zwei Knoten ${}K_{1}$ und ${}K_{2}$ heißen äquivalent, wenn es eine stetige Abbildung

$\Psi \colon [0,1]\times \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3}$

derart gibt, dass für jedes ${}t$ die Abbildung ${}\Psi _{t}$ ein Homöomorphismus des ${}\mathbb {R} ^{3}$ ist, dass ${}\Psi _{0}$ die Identität ist und dass

${}\Psi _{1}(K_{1})=K_{2}\,$

ist.

Die Bildknoten ${}\Psi _{t}(K_{1})$ beschreiben dabei eine stetige Deformation des ersten Knoten in den zweiten Knoten mit dem Zeitparameter ${}t$.

Ein trivialer Knoten, der ziemlich, aber nicht völlig trivial aussieht.

Definition

Ein Knoten ${}K$, der zum Knoten

${}{\left\{(x,y,0)\mid x^{2}+y^{2}=1\right\}}\subseteq \mathbb {R} ^{3}\,$

äquivalent ist, heißt trivial.

Streng genommen meint man die Standardeinbettung dieses Knotens, also di Abbildung

$[0,1]\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,s\longmapsto \left(\cos 2\pi s,\,\sin 2\pi s,\,0\right),$

doch ist jeder andere Durchlauf dazu äquivalent.