Kommutative Algebra/Basiswechselmatrix/Definition

Übergangsmatrix

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}M$ ein freier ${}R$-Modul mit Rang ${}n$. Es seien ${}{\mathfrak {v}}=v_{1},\ldots ,v_{n}$ und ${}{\mathfrak {w}}=w_{1},\ldots ,w_{n}$ zwei Basen von ${}M$. Es sei

${}v_{j}=\sum _{i=1}^{n}c_{ij}w_{i}\,$

mit den Koeffizienten ${}c_{ij}\in K$. Dann nennt man die ${}n\times n$-Matrix ${}M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}=(c_{ij})_{ij}$ die Übergangsmatrix zum Basiswechsel von ${}{\mathfrak {v}}$ nach ${}{\mathfrak {w}}$. Die ${}j$-te Spalte von ${}M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}$ ist der Koordinatenvektor von ${}v_{j}$ bezüglich ${}{\mathfrak {w}}$.