Kommutative Algebra/Modulhomomorphismus/Festlegung auf Basis/Fakt

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}M$, ${}N$ zwei ${}R$-Moduln, wobei ${}M$ frei sei. Es seien ${}x_{i},i\in I$, eine Basis von ${}M$ und ${}y_{i},i\in I$, Elemente aus ${}N$.

Dann gibt es genau einen ${}R$-Modulhomomorphismus ${}\varphi :M\rightarrow N$, für den

$\varphi (x_{i})=y_{i}$

für alle ${}i\in I$ gilt.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen