Kommutative Algebra/Modulhomomorphismus/Festlegung auf Basis/Fakt/Beweis

Beweis

Wir definieren $\phi$ für ein $u\in M$ mit $u=\sum _{i\in J\subseteq I}{a}_i{x}_i$ als

$\phi (u)=\sum _{i\in J\subseteq I}{a}_i{y}_i.$

Weil die $x_i,i\in I$, linear unabhängig sind, gibt es nur eine einzige Darstellung für jedes $u\in U$, deshalb ist $\phi$ wohldefiniert.

Die Linearität überprüfen wir wie folgt.

Es seien zwei Modulelemente $u=\sum _{i\in J\subseteq I}{s}_i{x}_i$ und $v=\sum _{i\in K\subseteq I}{t}_i{x}_i$ gegeben.

In dem wir weitere Summanden mit $s_i=0$ bzw. $t_i=0$ hinzufügen können wir $J=K$ erreichen. Deshalb nehmen wir das gleich an.

Wir zeigen die Additivität von $\phi$.

$\begin{array}{cc}\phi (u+v)& =\phi (\left(\sum _{i\in J\subseteq I}{s}_i{x}_i\right)+\left(\sum _{i\in J\subseteq I}{t}_i{x}_i\right))\\ & =\phi \left(\sum _{i\in J\subseteq I}(s_i+t_i)x_i\right)\\ & =\sum _{i\in J\subseteq I}(s_i+t_i)\phi (x_i)\\ & =\sum _{i\in J\subseteq I}{s}_i\phi (x_i)+\sum _{i\in J\subseteq I}{t}_i\phi (x_i)\\ & =\phi \left(\sum _{i\in J\subseteq I}{s}_i{x}_i\right)+\phi \left(\sum _{i\in J\subseteq I}{t}_i{x}_i\right)\\ & =\phi (u)+\phi (v).\end{array}$

Wir zeigen die Verträglichkeit von $\phi$ mit der skalaren Multiplikation.

$\begin{array}{cc}\phi (au)& =\phi \left(a\sum _{i\in J\subseteq I}{s}_i{x}_i\right)\\ & =\phi \left(\sum _{i\in J\subseteq I}\left(a{s}_i\right)x_i\right)\\ & =\sum _{i\in J\subseteq I}\left(a{s}_i\right)\phi (x_i)\\ & =a\sum _{i\in J\subseteq I}{s}_i\phi (x_i)\\ & =a\phi \left(\sum _{i\in J\subseteq I}{s}_i{x}_i\right)\\ & =a\phi (u).\end{array}$

Dass dieses $\phi$ der einzige Modulhomomorphismus ist, der die Voraussetzungen erfüllt, folgt aus Fakt.

Zur bewiesenen Aussage