Kommutative Algebra/Modulhomomorphismus/Festlegung auf Basis/Fakt/Beweis

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen
Beweis

Wir definieren für ein mit als

Weil die , linear unabhängig sind, gibt es nur eine einzige Darstellung für jedes , deshalb ist wohldefiniert.

Die Linearität überprüfen wir wie folgt.

Seien zwei Modulelemente und gegeben.

In dem wir weitere Summanden mit bzw. hinzufügen können wir erreichen. Deshalb nehmen wir das gleich an.

Wir zeigen die Additivität von .

Wir zeigen die Verträglichkeit von mit der skalaren Multiplikation.

Dass dieses der einzige Modulhomomorphismus ist, der die Voraussetzungen erfüllt, folgt aus Fakt.

Zur bewiesenen Aussage