Kommutative Algebra/Modulhomomorphismus/Festlegung auf Basis/Fakt/Beweis

Beweis

Wir definieren ${}\varphi$ für ein ${}u\in M$ mit ${}u=\sum _{i\in J\subseteq I}a_{i}x_{i}$ als

$\varphi (u)=\sum _{i\in J\subseteq I}a_{i}y_{i}.$

Weil die ${}x_{i},i\in I$, linear unabhängig sind, gibt es nur eine einzige Darstellung für jedes ${}u\in U$, deshalb ist ${}\varphi$ wohldefiniert.

Die Linearität überprüfen wir wie folgt.

Es seien zwei Modulelemente ${}u=\sum _{i\in J\subseteq I}s_{i}x_{i}$ und ${}v=\sum _{i\in K\subseteq I}t_{i}x_{i}$ gegeben.

In dem wir weitere Summanden mit ${}s_{i}=0$ bzw. ${}t_{i}=0$ hinzufügen können wir ${}J=K$ erreichen. Deshalb nehmen wir das gleich an.

Wir zeigen die Additivität von ${}\varphi$.

${}{\begin{aligned}\varphi (u+v)&=\varphi {\left({\left(\sum _{i\in J\subseteq I}s_{i}x_{i}\right)}+{\left(\sum _{i\in J\subseteq I}t_{i}x_{i}\right)}\right)}\\&=\varphi {\left(\sum _{i\in J\subseteq I}{\left(s_{i}+t_{i}\right)}x_{i}\right)}\\&=\sum _{i\in J\subseteq I}{\left(s_{i}+t_{i}\right)}\varphi (x_{i})\\&=\sum _{i\in J\subseteq I}s_{i}\varphi (x_{i})+\sum _{i\in J\subseteq I}t_{i}\varphi (x_{i})\\&=\varphi {\left(\sum _{i\in J\subseteq I}s_{i}x_{i}\right)}+\varphi {\left(\sum _{i\in J\subseteq I}t_{i}x_{i}\right)}\\&=\varphi (u)+\varphi (v).\end{aligned}}$

Wir zeigen die Verträglichkeit von ${}\varphi$ mit der skalaren Multiplikation.

${}{\begin{aligned}\varphi (au)&=\varphi {\left(a\sum _{i\in J\subseteq I}s_{i}x_{i}\right)}\\&=\varphi {\left(\sum _{i\in J\subseteq I}{\left(as_{i}\right)}x_{i}\right)}\\&=\sum _{i\in J\subseteq I}{\left(as_{i}\right)}\varphi (x_{i})\\&=a\sum _{i\in J\subseteq I}s_{i}\varphi (x_{i})\\&=a\varphi {\left(\sum _{i\in J\subseteq I}s_{i}x_{i}\right)}\\&=a\varphi (u).\end{aligned}}$

Dass dieses ${}\varphi$ der einzige Modulhomomorphismus ist, der die Voraussetzungen erfüllt, folgt aus Fakt.

Zur bewiesenen Aussage