(1) ⇒ {\displaystyle {}\Rightarrow } (2) wurde bereits in Fakt bewiesen.
(2) ⇒ {\displaystyle {}\Rightarrow } (1) Da det ( A ) {\displaystyle {}\operatorname {det} (A)} eine Einheit in R {\displaystyle {}R} ist, gibt es ein y ∈ R {\displaystyle {}y\in R} mit der Eigenschaft det ( A ) y = 1 {\displaystyle {}\operatorname {det} (A)y=1} .
Die Matrix A − 1 := Adj ( A ) y {\displaystyle {}A^{-1}:=\operatorname {Adj} (A)y} erfüllt nach Fakt die Eigenschaft, dass A ⋅ A = E n {\displaystyle {}A\cdot A=E_{n}} sei. Dies ergibt sich aus:
