Kommutative Gruppe/Kommutativer Ring/Tensorprodukt/Beispiel

Zu jeder kommutativen Gruppe ${}H$ und jedem kommutativen Ring ${}R$ enthält man im Tensorprodukt ${}R\otimes _{\mathbb {Z} }H$ einen ${}R$-Modul. Wenn ${}H$ endlich erzeugt und die Zerlegung (vergleiche den Hauptsatz über endlich erzeugte kommutative Gruppen)

${}H\cong \mathbb {Z} ^{r}\times \mathbb {Z} /(n_{1})\times \cdots \times \mathbb {Z} /(n_{s})\,$

vorliegt, so ist der tensorierte Modul die direkte Summe aus ${}R^{r}$ und den

${}R\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Z} /(n_{j})\cong R/(n_{j}R)\,,$

wobei deren Gestalt von der Charakteristik des Ringes abhängt.