Tensorprodukt/Moduln/Definition

Tensorprodukt von Moduln

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}V_{1},\ldots ,V_{n},W$ seien ${}R$-Moduln. Es sei ${}F$ der von sämtlichen Symbolen ${}v_{1}\otimes v_{2}\otimes \cdots \otimes v_{n}$ (mit $v_{i}\in V_{i}$) erzeugte freie ${}R$-Modul. Es sei ${}U\subseteq F$ der von allen Elementen der Form

1. ${}r{\left(v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{i-1}\otimes v_{i}\otimes v_{i+1}\otimes \cdots \otimes v_{n}\right)}-v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{i-1}\otimes rv_{i}\otimes v_{i+1}\otimes \cdots \otimes v_{n}$,
2. ${}v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{i-1}\otimes (u+w)\otimes v_{i+1}\otimes \cdots \otimes v_{n}-v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{i-1}\otimes u\otimes v_{i+1}\otimes \cdots \otimes v_{n}-v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{i-1}\otimes w\otimes v_{i+1}\otimes \cdots \otimes v_{n}$,

erzeugte ${}R$-Untermodul. Dann nennt man den Restklassenmodul ${}F/U$ das Tensorprodukt der ${}V_{i}$, ${}i\in {\{1,\ldots ,n\}}$. Es wird mit

$V_{1}\otimes _{R}V_{2}\otimes _{R}\cdots \otimes _{R}V_{n}$

bezeichnet.