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Kommutative Gruppe/Schwache Höhenfunktion/Endlich erzeugt/Charakterisierung/Fakt/Beweis

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Beweis

Es sei zunächst endlich erzeugt. Dann ist nach dem Hauptsatz über endlich erzeugte abelsche Gruppen

mit einer endlichen Torsionsgruppe . Wir betrachten

Dann ergibt jede Norm auf im Quadrat genommen eine schwache Höhenfunktion auf , siehe Beispiel. Ferner ist

endlich.

Zum Beweis der Umkehrung sei eine schwache Höhenfunktion gegeben und sei ein Repräsentantensystem für die nach Voraussetzung endliche Restklassengruppe . Zu jedem gibt es eine reelle Zahl derart, dass

für alle . Wir setzen

wobei von der zweiten Eigenschaft einer schwachen Höhenfunktion herrührt. Zu jedem gibt es ein mit in , daher gibt es ein mit in . Dabei gilt

Die Konstruktion

können wir iterieren, wir setzen ,

etc. Dabei gilt die rekursive Abschätzung

und somit unter Verwendung der geometrischen Reihe

Für hinreichend groß ist somit

Es ist daher

mit gewissen und somit ist insgesamt die endliche Menge

ein Erzeugendensystem der Gruppe.