Beweis
Es sei zunächst
endlich erzeugt. Dann ist
nach dem Hauptsatz über endlich erzeugte abelsche Gruppen
-

mit einer endlichen Torsionsgruppe
. Wir betrachten
-
Dann ergibt jede Norm auf
im Quadrat genommen eine
schwache Höhenfunktion
auf
, siehe
Beispiel.
Ferner ist
-

endlich.
Zum Beweis der Umkehrung sei eine schwache Höhenfunktion
gegeben und sei
ein Repräsentantensystem für die nach Voraussetzung endliche Restklassengruppe
. Zu jedem
gibt es eine reelle Zahl
derart, dass
-

für alle
.
Wir setzen
-

wobei
von der zweiten Eigenschaft einer schwachen Höhenfunktion herrührt. Zu jedem
gibt es ein
mit
in
, daher gibt es ein
mit
in
. Dabei gilt

Die Konstruktion
-

können wir iterieren, wir setzen
,
-

-

etc. Dabei gilt die rekursive Abschätzung
-

und somit unter Verwendung der geometrischen Reihe

Für
hinreichend groß ist somit
-

Es ist daher
-

mit gewissen
und somit ist insgesamt die endliche Menge
-
ein Erzeugendensystem der Gruppe.