Beweis
Es sei zunächst endlich erzeugt. Dann ist
nach dem Hauptsatz über endlich erzeugte abelsche Gruppen
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mit einer endlichen Torsionsgruppe . Wir betrachten
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Dann ergibt jede Norm auf im Quadrat genommen eine
schwache Höhenfunktion
auf , siehe
Beispiel.
Ferner ist
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endlich.
Zum Beweis der Umkehrung sei eine schwache Höhenfunktion gegeben und sei
ein Repräsentantensystem für die nach Voraussetzung endliche Restklassengruppe . Zu jedem
gibt es eine reelle Zahl derart, dass
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für alle
.
Wir setzen
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wobei von der zweiten Eigenschaft einer schwachen Höhenfunktion herrührt. Zu jedem
gibt es ein
mit
in , daher gibt es ein
mit
in . Dabei gilt
Die Konstruktion
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können wir iterieren, wir setzen
,
-
-
etc. Dabei gilt die rekursive Abschätzung
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und somit unter Verwendung der geometrischen Reihe
Für hinreichend groß ist somit
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Es ist daher
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mit gewissen
und somit ist insgesamt die endliche Menge
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ein Erzeugendensystem der Gruppe.