Kommutative Ringtheorie/Ganzheit/Ganzes Element/Charakterisierung/Fakt/Beweis

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Beweis

(1) (2). Wir betrachten die von den Potenzen von erzeugte -Unteralgebra von , die aus allen polynomialen Ausdrücken in mit Koeffizienten aus besteht. Aus einer Ganzheitsgleichung

ergibt sich

Man kann also durch einen polynomialen Ausdruck von einem kleineren Grad ausdrücken. Durch Multiplikation dieser letzten Gleichung mit kann man jede Potenz von mit einem Exponenten durch einen polynomialen Ausdruck von einem kleineren Grad ersetzen. Insgesamt kann man dann aber all diese Potenzen durch polynomiale Ausdrücke vom Grad ersetzen. Damit ist

und die Potenzen bilden ein endliches Erzeugendensystem von .

(2) (3). Sei , eine -Unteralgebra, die als -Modul endlich erzeugt sei. Dann ist , und enthält den Nichtnullteiler .

(3) (1). Sei ein endlich erzeugter -Untermodul mit . Seien erzeugende Elemente von . Dann ist insbesondere für jedes eine -Linearkombination der . Dies bedeutet

mit , oder, als Matrix geschrieben,

Dies schreiben wir als

Nennen wir diese Matrix (die Einträge sind aus ), und sei die adjungierte Matrix. Dann gilt ( bezeichne den Vektor ) und nach der Cramerschen Regel ist , also gilt . Es ist also für alle und damit

für alle . Da nach Voraussetzung einen Nichtnullteiler enthält, muss sein. Die Determinante ist aber ein normierter polynomialer Ausdruck in vom Grad , so dass eine Ganzheitsgleichung vorliegt.

Zur bewiesenen Aussage