Kommutative Ringtheorie/K-Spektrum/Produktring/Fakt/Beweis

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Beweis

Die Projektion ist ein -Algebrahomomorphismus und liefert daher eine stetige Abbildung

(und zwar eine abgeschlossene Einbettung)

Ebenso gibt es eine Abbildung auf . Diese zusammengenommen definieren eine stetige Abbildung

Sei , also sei ein -Algebrahomomorphismus. Seien und die zur Produktzerlegung gehörenden idempotenten Elemente. Wegen und wird genau eines dieser Elemente (sagen wir ) unter auf abgebildet (das andere auf ). Dann wird aber auf geschickt und faktorisiert durch eine Projektion. Das beweist die Surjektivität.

Zur Injektivität seien in der disjunkten Vereinigung gegeben, . Wenn sie beide in einem der Teilstücke liegen, so bleiben sie unter der Abbildung verschieden, da auf den Teilstücken eine abgeschlossene Einbettung vorliegt. Wenn sie auf verschiedenen Teilstücken liegen, so faktorisieren sie durch die beiden verschiedenen Projektionen und für den einen Punkt ist und für den anderen Punkt . Sie sind also verschieden als Elemente in .

Eine Homöomorphie liegt vor, da sich die einzelnen abgeschlossenen Einbettungen zu einer abgeschlossenen Abbildung zusammensetzen.

Zur bewiesenen Aussage